Умозаключения. Виды умозаключений. Дедуктивные умозаключения. выводы из простых суждений (выводы логики предикатов) Задания для самостоятельной работы

При выводе заключения удобно правила введения и удаления логических связок представить также как и правила вывода:

Правило 1. Если посылки $F_1$ и $F_2$ имеют значение “и”, то истинной является их конъюнкция, т.е.

$$\frac{F_1 ; F_2}{(F_1\&F_2)}$$

Эта запись при истинности посылок $F_1$ и $F_2$ предусматривает возможность введения в заключение логической связки конъюнкции; это правило тождественно аксиоме А5 (см. );

Правило 2. Если $(F_1\&F_2)$ имеет значение “и”, то истинными являются подформулы $F_1$ и $F_2$, т.е.

$$\frac{(F_1\&F_2)}{F_1} \: и \: \frac{(F_1\&F_2)}{F_2}$$

Эта запись при истинности $(F_1\&F_2)$ предусматривает возможность удаления в заключении логической связки конъюнкции и рассматривать истинные значения подформул $F_1$ и $F_2$; это правило тождественно аксиомам А3 и А4;

Правило 3. Если $F_1$ имеет значение “и”, а $(F_1\&F_2)$ - “л”, то ложной является подформулы $F_2$, т.е.

$$\frac{F_1;\left\rceil\right. \!\!(F_1\&F_2)}{ \left\rceil\right. \!\!F_2}$$

Эта запись при ложности $(F_1\&F_2)$ и истинности одной из подформул предусматривает возможность удаления в заключении логической связки конъюнкции и рассматривать ложным значение второй подформулы;

Правило 4. Если истинна хотя бы одна посылка $F_1$ или $F_2$, то истинной является их дизъюнкция, т.е.

$$\frac{F_1}{ (F_1\vee F_2)} \: или \: \frac{F_2}{ (F_1\vee F_2)}$$

Эта запись при истинности хотя бы одной подформулы $F_1$ или $F_2$ предусматривает возможность введения в заключение логической связки дизъюнкции; это правило тождественно аксиомам А6 и А7;

Правило 5. Если $(F_1\vee F_2)$ имеет значение “и” и одна из подформул $F_1$ или $F_2$ имеет значение “л”, то истинной является вторая подформулаы $F_2$ или $F_1$, т.е.

$$\frac{(F_1\vee F_2); \left\rceil\right. \!\!F_1 }{ (F_2} \: или \: \frac{(F_1\vee F_2); \left\rceil\right. \!\!F_2 }{ (F_1}$$

Эта запись при истинности $(F_1\vee F_2)$ предусматривает возможность удаления в заключении логической связки дизъюнкции и рассматривать истинные значения подформул $F_1$ или $F_2$;

Правило 6. Если подформула $F_2$ имеет значение “и”, то истинной является формула $(F_1\rightarrow F_2)$ при любом значении подформулы $F_1$, т.е

$$\frac{F_2}{ (F_1\rightarrow F_2)}$$

Эта запись при истинном значении $F_2$ предусматривает возможность введения в заключение логической связки импликации при любом значении подформулы $F_1$ (“истина из чего угодно”); это правило тождественно аксиоме 1;

Правило 7. Если подформула $F_1$ имеет значение “л”, то истинной является формула $(F_1\rightarrow F_2)$ при любом значении подформулы $F_2$, т.е

$$\frac{\left\rceil\right. \!\!F_1 }{ (F_1\rightarrow F_2)}$$

Эта запись при ложном значении $F_1$ предусматривает возможность введения в заключение логической связки импликации при любом значении подформулы $F_2$ (“ из ложного что угодно”);

Правило 8. Если формула $(F_1\rightarrow F_2)$ имеет значение “и”, то истинной является формула $(\left\rceil\right. \!\!F_2\rightarrow \left\rceil\right. \!\!F_1)$, т.е

$$\frac{(F_1\rightarrow F_2) }{ (\left\rceil\right. \!\!F_2\rightarrow \left\rceil\right. \!\!F_1)}$$

Эта запись при истинном значении $(F_1\rightarrow F_2)$ определяет возможность замены местами полюсов импликации при одновременном изменении их значений; это - закон контрапозиции;

Правило 9. Если формула $(F_1\rightarrow F_2)$ имеет значение “и”, то истинной является формула $((F_1\vee F_3)\rightarrow (F_2\vee F_3)$ при любом значении $F_3$, т.е

$$\frac{(F_1\rightarrow F_2) }{((F_1\vee F_3)\rightarrow (F_2\vee F_3)} $$

Эта запись при истинном значении $(F_1\rightarrow F_2)$ определяет возможность выполнить операцию дизъюнкции при любом значении формулы $F_3$ над каждым полюсом импликации; это правило тождественно аксиоме А11.

Правило 10. Если формула $(F_1\rightarrow F_2)$ имеет значение “и”, то истинной является формула $((F_1\&F_3)\rightarrow (F_2\&F_3)$ при любом значении $F_3$, т.е

$$\frac{(F_1\rightarrow F_2) }{((F_1\&F_3)\rightarrow (F_2\&F_3)}$$

Эта запись при истинном значении $(F_1\rightarrow F_2)$ определяет возможность выполнить операцию конъюнкции при любом значении формулы $F_3$ над каждым полюсом импликации; это правило тождественно аксиоме А10.

Правило 11. Если формулы $(F_1\rightarrow F_2)$ и $(F_2\rightarrow F_3)$ имеют значение “и”, то истинной является формула $(F_1\rightarrow F_3)$, т.е

$$\frac{(F_1\rightarrow F_2); (F_2\rightarrow F_3) }{(F_1\rightarrow F_3)}$$

Эта запись при истинном значении $(F_1\rightarrow F_2)$ и $(F_2\rightarrow F_3)$ предусматривает возможность формирования импликации $(F_1\rightarrow F_3)$ (закон силлогизма); это правило тождественно аксиоме А2;

Правило 12. Если формулы $F_1$ и $(F_1\rightarrow F_2)$ имеют значение “и”, то истинной является формула $F_2$, т.е

$$\frac{F_1; (F_1\rightarrow F_2) }{ F_2}$$

Эта запись при истинном значении посылки $F_1$ и импликации $(F_1\rightarrow F_2)$ позволяет удалить логическую связку импликации и определить истинное значение заключения $F_2$;

Правило 13. Если формулы $\left\rceil\right. \!\!F_2 и (F_1\rightarrow F_2)$ имеют значение “и”, то истинной является формула $\left\rceil\right. \!\!F_1$, т.е

$$\frac{\left\rceil\right. \!\!F_2; (F_1\rightarrow F_2) }{ \left\rceil\right. \!\!F_1}$$

Эта запись при истинном значении посылки $\left\rceil\right. \!\!F_2$ и импликации $(F_1\rightarrow F_2)$ позволяет удалить логическую связку импликации и определить истинное значение заключения $\left\rceil\right. \!\!F_1$;

Правило 14. Если формулы $(F_1\rightarrow F_2)$ и $(F_2\rightarrow F_1)$ имеют значение “и”, то истинной является формула $(F_1\leftrightarrow F_2)$, т.е

$$\frac{(F_1\rightarrow F_2); (F_2\rightarrow F_1) }{ (F_1\leftrightarrow F_2)}$$

Эта запись при истинном значении $(F_1\rightarrow F_2)$ и $(F_2\rightarrow F_1)$ позволяет ввести логическую связку эквиваленции и определить значение формулы $(F_1\leftrightarrow F_2)$;

Правило 15. Если формула $(F_1\leftrightarrow F_2)$ имеет значение “и”, то истинными являются формулы $(F_1\rightarrow F_2)$ и $(F_2\rightarrow F_1)$, т.е

$$\frac{(F_1\leftrightarrow F_2) }{ (F_1\rightarrow F_2) } \: и \: \frac{(F_1\leftrightarrow F_2) }{ (F_2\rightarrow F_1) }$$

Эта запись при истинном значении $(F_1\leftrightarrow F_2)$ позволяет удалить логическую связку эквиваленции и определить истинное значение формул $(F_1\rightarrow F_2)$ и $(F_2\rightarrow F_1)$.

Структура любого умозаключения включает посылки, заключение (следствие) и вывод. Посылки умозаключения – исходные суждения, из которых выводится новое суждение. Заключение (следствие) – это новое суждение, полученное логическим путем из посылок. Вывод – это логический переход от посылок к заключению.

Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск

ТЕМА 5. ДЕДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ. ВЫВОДЫ ИЗ ПРОСТЫХ СУЖДЕНИЙ (ВЫВОДЫ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ)

Основные вопросы : Понятие умозаключения. Виды умозаключений. Дедуктивные умозаключения из простых суждений. Непосредственные умозаключения и их виды. Простой категорический силлогизм. Энтимема.

Ключевые термины и понятия

УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ – форма мышления, посредством кот о рой из одного или нескольких суждений на основании определенных правил выв о да получается новое суждение.

Структура любого умозаключения включает посылки, закл ю чение (следствие) и вывод. Посылки умозаключения – исходные су ж дения, из которых выводится новое суждение. Заключение (следствие) – это новое суждение, полученное логическим путем из посылок. В ы вод – это логический переход от посылок к з а ключению.

Например: «Все рыбы дышат жабрами (1), ни один дельфин не дышит жабрами (2), следовательно, ни один дельфин не является рыбой (3)». В этом умозаключении суждения (1,2) являются посылками, а сужд е ние (3) – заключением. При анализе умозаключения посылки и закл ю чение принято записывать отдельно, располагая их друг под другом. Заключение записывают под горизонтальной чертой, отделяющей его от посылок и обозначающей логическое следование. В соответствии с этим приведенное умозаключение мо ж но выразить так:

Все рыбы дышат жабрами.

Ни один дельфин не дышит жабр а ми.

Ни один дельфин не является р ы бой.

КЛАССИФИКАЦИЯ УМОЗАКЛЮЧЕНИЙ

Умозаключения

Дедуктивные Недедукти в ные

Умозаключения Умозаключения Индуктивные Умозакл ю чения

из простых суж- из сложных суж- умозаключе- по аналогии

дений (выводы дений (выводы ния

логики преди- логики выска-

катов) зываний)

Умозаключения из простых суждений

(выводы логики предикатов)

Непосредственные Опосредова н ные

Превращение Простой категорич е ский

Обращение силл о гизм

Противопоставление предикату

Умозаключения по логическому квадрату

Умозаключения из суждений с отношениями

Умозаключения из сложных суждений

(выводы логики высказываний)

Чисто условные умозаключения

Условно-разделительные (лемматичекие) умозаключения

ДЕДУКТИВНОЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ – умозаключение, в котором связь между посылками и заключением представляет собой логический закон, в силу чего из истинных посылок с необходимостью следует истинное заключение. Иными словами, это умозаключение, в котором между посылками и заключением имеется отношение логического следования. В процессе рассуждения иногда за дедуктивные принимают умозаключения, которые таковыми не являются. Это так называемые неправильные дедуктивные умозаключения . Собственно дедуктивные умозаключения называются правильными . В правильном дедуктивном умозаключении заключение называется также логическим следствием .

ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДСТВИЕ – суждение, которое не может быть ложным, если оно выводится из истинных посылок. Другими словами, суждение В является логическим следствием из суждения А , если импликация (А  В ) является тождественно-истинной форм у лой, т.е. законом логики.

НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ – дедуктивное умозаключение, в котором заключение выводится только из одной посылки.

ПРЕВРАЩЕНИЕ – вид непосредственного умозаключения, в заключении которого субъектом является субъект исходного суждения (посылки), а предикатом – понятие, противоречащее предикату посы л ки, при этом изменяется качество посылки, количественная характер и стика суждения не меняется. В результате превращения возникает суждение, эквивалентное исходному. Превращению подлежат все ч е тыре вида суждений: А , Е , I , О .

Логические формы умозаключений превращения:

А : _____ Все S есть Р_ ____ .

Ни одно S не есть не – Р

Е: Ни одно S не есть Р .

Все S есть не – Р

I: ___ Некоторые S есть Р ___ .

Некоторые S не есть не – Р

Некоторые S есть не – Р

Примеры:

А : Все преступления наказуемы. Следовательно, ни одно преступление не есть ненаказуемое деяние.

Е : Ни один кит не дышит жабрами. Следовательно, все киты есть ж и вотные, не дышащие жабрами.

I : Некоторые спортсмены – победители соревнований. Следовательно, некоторые спортсмены не есть не – победители соревнов а ний.

О : Некоторые ценные бумаги не являются акциями. Следовательно, некоторые ценные бумаги есть не – акции.

ОБРАЩЕНИЕ – непосредственное умозаключение, в заключении которого субъектом является предикат, а предикатом – субъект исходного суждения (посылки), качество суждения при этом не меняется. Количественная характеристика заключения может быть иной по сравнению с количественной характеристикой посылки. Это зависит от распределенности терминов в посылке. Обращение подчиняется правилу: термин, не распределенный в посылке, не может быть распределен в заключении.

Различают два вида обращения: простое (или чистое ) и обращение с ограничением. Простое (или чистое ) обращение будет тогда, когда в посылке оба термина распределены ( S + , Р + ) или оба не распределены ( S - , Р - ). Обращение с ограничением будет тогда, когда в посылке субъект распределен ( S + ), а предикат не распределен (Р - ), или наоборот, субъект не распределен ( S - ), а предикат распределен (Р + ).

Обращению подлежат три вида суждений: А , Е , I. Суждение типа О (частноотрицательное) не обращается.

Логические формы умозаключений обращения:

А: а) ___ Все S + есть Р - ____ ; б) Все S + есть Р + .

Некоторые Р - есть S + Все Р + есть S +

Е: Ни одно S + не есть Р + .

Ни одно Р + не есть S +

I: а) Некоторые S - есть Р - ; б) Некоторые S - есть Р + .

Некоторые Р - есть S - Все Р + есть S -

Примеры:

А: а) Все скрипачи – музыканты. Следовательно, некоторые музыканты скрипачи.

б) Все преступления – уголовно наказуемые деяния. Следовательно, все уголовно наказуемые деяния – преступления.

Е: Ни одна акция не есть облигация. Следовательно, ни одна облигация не есть акция.

I: а) Некоторые свидетели дали правдивые показания. Следовательно, некоторые лица, давшие правдивые показания, есть свидетели.

б) Некоторые города – столицы государств. Следовательно, все стол и цы государств есть города.

ПРОТИВОПОСТАВЛЕНИЕ ПРЕДИКАТУ – непосредственное умозаключение, в заключении которого субъектом является понятие, противоречащее предикату посылки, а предикатом – субъект посылки, при этом заключение и посылка различны по качеству. Иными словами, противопоставление предикату осуществляется последовательным применением превращения исходного суждения (посылки) и затем обращения полученного при этом суждения. Заключение, полученное посредством противопоставления предикату, зависит от количества и качества посылки. Противопоставляются предикату три вида суждений: А , Е , О. Частноутвердительное суждение ( I ) не противопоставляется предикату.

Логические формы умозаключений противопоставления предикату :

А : ______ Все S есть Р__ ____ .

Ни одно не – Р не есть S

Е: __ Ни одно S не есть Р__ .

Некоторые не – Р есть S

О: _ Некоторые S не есть Р_ .

Некоторые не – Р есть S

Примеры:

А : Все драматурги – писатели,. Следовательно, ни один не – писатель не является драматургом.

Е : Ни один адвокат не есть прокурор. Следовательно, некоторые не-прокуроры есть адвокаты.

О : Некоторые красавицы не являются актрисами. Следовательно, н е которые не – актрисы есть крас а вицы.

УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ ПО ЛОГИЧЕСКОМУ КВАДРАТУ – непосредственные умозаключения, которые строятся на основе лог и ческих отношений между простыми категорическими суждениями, зафиксированных схемой логического квадрата. Иными словами, уч и тывая логические отношения между категорическими суждениями (А , Е , I , О ), представляемые логическим квадратом, можно строить неп о средственные выводы об истинности или ложности одного суждения на основе истинности или ложности другого.

Виды умозакл ю чений по логическому квадрату :

1) умозаключения на основании отношения подчин е ния;

2) умозаключения на основании отношения субконтрарности (части ч ной совместимости);

3) умозаключения на основании отношения контрарности (противоп о ложности);

4) умозаключения на основании отношения контрадикторности (пр о тиворечия).

1) Логические формы умозаключений на основании отношения подч и нения :

А  I , Е  О ,  I  А ,  О  Е.

Примеры:

Из истинности суждения «Все кражи – преступления» следует исти н ность суждения «Некоторые кражи – преступления».

Из истинности суждения «Ни одна планета не является кометой» следует истинность суждения «Некоторые планеты не есть кометы».

Из ложности суждения «Некоторые дельфины – рыбы» следует ло ж ность суждения «Все дел ь фины – рыбы».

Из ложности суждения «Некоторые скрипачи не есть музыканты» сл е дует ложность суждения «Ни один скрипач не есть музыкант».

2) Логические формы умозаключений из отношения субконтрарности:  I  О ,  О  I.

3) Логические формы умозаключений из отношения контрарности :

А  Е, Е  А.

4) Логические формы умозаключений из отношения контрадикторн о сти :

А   О , Е   I , О  А , I  Е,  А  О,  Е  I,  О  А,  I  Е.

УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ ИЗ СУЖДЕНИЙ С ОТНОШЕНИЯМИ – умозаключения, основанные на свойствах двухместных отношений. Важнейшие из этих свойств – конверсия, симметричность, транз и тивность . конве р сии: R ab  R  ba .

Пример . Луганск расположен севернее Одессы, значит, Одесса расположена южнее Луганска.

Логическая форма умозаключения, основанного на свойстве симметричности: R ab  R ba .

Пример . Иван – ровесник Петра, значит, Петр – ровесник Ивана.

Логическая форма умозаключения, основанного на свойстве транзитивности: (R ab  R bс )  R aс.

Пример . Иван старше Петра, а Петр старше Николая, значит, Иван старше Николая.

ПРОСТОЙ КАТЕГОРИЧЕСКИЙ СИЛЛОГИЗМ – дедуктивное умозаключение, в котором из двух категорических суждений, соде р жащих общий термин, при соблюдении правил выводится новое кат е горич е ское суждение. Пример силлогизма:

1. Все рыбы дышат жа б рами.

2. Все караси – рыбы. _______

3. Все караси дышат жабрами.

Структура силлогизма:

Посылки силлогизма – суждения, из которых выводится новое сужд е ние (в примере посылки – это суждения 1, 2) . Заключение – новое су ж дение, которое выводится из посылок (суждение 3). В каждом силл о гизме должно быть три термина: меньший, больший и средний. Мен ь шим термином называется субъект заключения (в примере меньший термин – «караси»). Большим термином называется предикат закл ю чения («дышат жабрами»). Средним термином называется термин, который содержится в посылках, но не содержится в заключении («рыбы»). Меньший термин обозначается буквой S , больший – буквой Р , средний – б у квой М .

Особые названия имеют и посылки силлогизма. Посылка, в которую входит больший термин, называется большей. Посылка с меньшим термином называется меньшей . Традиционно в силлогизмах сначала указывается большая посылка, а затем – меньшая . Логическая форма приведенного си л логизма имеет вид:

Все М есть Р.

Все S есть М.

Все S есть Р.

Аксиома силлогизма – положение, составляющее правоме р ность вывода, т.е. логического перехода от посылок к заключению в категорическом силлогизме. Она звучит так: «Все, что утверждается (о т рицается) о всех предметах некоторого класса, необходимо утверждается (отрицается) о каждом предмете и любой части предметов, принадлежащих к данному кла с су».

ОБЩИЕ ПРАВИЛА СИЛЛОГИЗМА – правила, обусловл и вающие получение из истинных посылок необходимо истинного сле д ствия. Выделяют две группы правил: правила терминов и правила п о сылок.

Правила терминов : 1) в силлогизме должно быть только три термина; 2) средний термин должен быть распределен хотя бы в одной из пос ы лок; 3) термин, не распределенный в посылке, не может быть распр е делен в заключении. (Возможна ошибка: расширение термина ).

Правила посылок: 1) из двух отрицательных, а также из двух частных посылок, заключение с необходимостью не следует; 2) если одна из посылок отрицательное или частное суждение, то и заключение дол ж но быть, соответственно, отрицательным или частным су ж дением.

ФИГУРА СИЛЛОГИЗМА – разновидность силлогизма в зависимости от положения среднего термина М в посылках . Различают четыре фигуры, которые схематически можно изобразить так:

М Р Р М М Р Р М

S М S М М S М S

S Р S Р S Р S Р

I II III IV

Фигура фигура фигура фигура

Особые правила фигур:

I фигура: 1. Большая посылка – общее суждение.

2. Меньшая посылка – утвердительное суждение.

II фигура: 1. Большая посылка – общее сужд е ние.

2. Одна из посылок – отрицательное суждение.

III фигура: 1. Меньшая посылка – утвердительное сужд е ние.

2. Заключение – частное суждение.

IV фигура: I. Общеутвердительных заключений не д а ет.

2. Если большая посылка – утвердительная, то меньшая посылка – общее суждение.

3. Если одна из посылок – отрицательное суждение, то большая п о сылка должна быть общей.

МОДУС СИЛЛОГИЗМА – разновидность фигур силлогизма в зависимости от количественной и качественной характеристик пос ы лок и заключения. В каждой фигуре имеется 64 модуса (разновидности фигур), а по всем четырем фигурам – 256. Однако не в каждом модусе заключение следует из посылок. Модусы, для которых следование имеет место, называются правильными . Всего существует 24 правил ь ных модуса (19 сильных и 5 слабых), по шесть в каждой фигуре (в скобках указаны слабые мод у сы):

I фигура – ААА , ЕАЕ , АII , ЕIО , (ААI , ЕАО ); (Вышеприведенный силлогизм п о строен по модусу ААА );

II фигура – ЕАЕ , АЕЕ , ЕIО , АОО , (ЕАО , АЕО );

III фигура – ААI , ЕАО , IАI , ОАО , АII , ЕIО ;

IV фигура – ААI , АЕЕ , IАI , ЕАО , ЕIО , (АЕО ).

ЭНТИМЕМА – это сокращенный категорический силлогизм, в котором пропущена одна из посылок или заключение. Пример энт и мемы с пропущенной меньшей посылкой: «Все газы сжижаемы, зн а чит, кислород сжижаем»; с пропущенной большей посылкой: «Кража – уголовно наказуемое деяние, потому что кража – преступление»; с пропущенным заключением: «Все настоящие педагоги любят детей, а Иванов – настоящий педагог». Энтимемы делятся на корректные и некорректные . Энтимема с пропущенной посылкой считается ко р ректной (правильной) если 1) она может быть восстановлена до пр а вильного модуса категорического силлогизма, 2) восстановленная п о сылка окажется истинным суждением. Энтимема с пропущенным з а ключением корректна, если она просто восстанавливается до правил ь ного модуса категорического силлоги з ма.

Возьмем энтимему: «Скупость заслуживает порицания, как и всякий порок». В ней имеется заключение: «Скупость заслуживает порицания» (после него стоит слово «как» – сокращение «так как») и посылка: «Всякий порок заслуживает порицания» (она выражена сокращенно). Это большая посылка, так как в нее входит термин Р («заслуживающий порицания») заключения. На основе термина S («скупость») и термина М («порок») формулируем меньшую посылку «Скупость – порок».

Полный силлогизм звучит так:

Всякий порок заслуживает порицания.

Скупость – порок. ___________________

Скупость заслуживает порицания.

Этот силлогизм составлен по модусу ААА первой фигуры, значит, он правильный. Восстановленная меньшая посылка «Скупость – порок» может быть признана истинной. Следовательно, энтимема корректна.

Литература

1. Ивин А. А. Практическая логика : задачи упражнения / А. А. Ивин. – М. : Пр о свещение, 1996. – 128 с.

2. Кириллов В. И. Логика : учебн ик для юрид ич. вуз . / В. И. Кириллов, А. А. Старченко. – М. : Юрист, 2004 . – 256 с. – Гл. 6.

1. Демидов И. В. Логика : учебник / И. В. Демидов. – М. : Да ш ков и К 0 , 2004. – 348 с. – Гл. 5.
2. Яшин Б. Л. Задачи и упражнения по логике / Б. Л. Яшин. – М. : ВЛАДОС, 1996. – 224 с. – Гл. 5.

УПРАЖНЕНИЯ I - X

І. Установите посылки и заключение в следующих умозаключениях :

1. Для того, чтобы процессуальный порядок был соблюден, необх о димо, чтобы при обыске присутствовали понятые. Однако понятые в данном случае приглашены не были. Значит, процессуальный порядок не был соблюден.

2. Все талантливые люди имеют странности. N не талантлив, так как никаких странностей у него нет.

3. Среди художественных фильмов есть и нецветные, значит, некот о рые художественные фильмы не являются цветными.

4. Если судья – потерпевший, то он не может участвовать в рассмотрении данного дела. А так как этот судья – потерпевший, то, значит, он не может участвовать в рассмотрении этого дела.

5. Так как все бухгалтеры имеют экономическое образование, значит, среди тех, кто имеет экономическое образование, есть бухгалтеры.

6. Все финансисты – экономисты. Это следует из того, что некоторые экономисты – финансисты.

ІІ. Постройте непосредственные умозаключения - превращение, обращение, противопоставление предикату - из следующих посылок :

1. Все силлогизмы являются умозаключениями.

2. Некоторые подозреваемые не имеют алиби.

3. Некоторые студенты – мастера спорта.

4. Ни один кит не является рыбой.

5. Все разумное действительно.

6. Ничто разумное не ставит меня в тупик.

7. Некоторые художники не были признаны при жизни.

8. Некоторые компьютеры «понимают» устную речь.

9. Учение о силлогистике создал Аристотель.

11. Некоторые депутаты – экономисты.

12. Ни один подложный документ не является доказательством.

ІІІ. Постройте непосредственные умозаключения по «логическому квадрату»:

1. Ни один лентяй не заслуживает похвалы.

2. Некоторые люди не влияют на ход истории.

3. Все музыканты эмоциональны.

4. Встречаются студенты, не имеющие среднего образования.

5. Некоторые цветы не являются ромашками.

6. Обвиняемый имеет право на защиту.

7. Некоторые дети хорошо рисуют.

8. Среди финансистов немало женщин.

9. Ни один из здравомыслящих людей не станет гулять под дождем без зонта.

10. Всякое правило имеет исключение.

IV. Постройте непосредственные выводы из суждений с отношениями, используя свойства отношений – конверсия, симметричность, транзитивность :

«Луганск расположен севернее Одессы», «Эта книга была издана одновременно с той», «Марья - жена Ивана», «Объект А основан раньше объекта В, объект В основан раньше объекта С».

V. Проверьте правильность следующих непосредственных умозаключений. Укажите вид преобразования. При наличии ошибки разъясните ее причину и сделайте правильный вывод:

1. Так как некоторые книги являются учебниками, то ни один не-учебник не является книгой.

2. Некоторые художники не были признаны при жизни, значит, есть непризнанные художники.

3. «А любит В, В любит С. Значит, А любит С».

4. Ни один человек не имеет права нарушать законы, значит, среди тех, кто имеет право нарушать законы, нет людей.

5. Некоторые европейские государства являются унитарными. Значит, все унитарные государства являются европейскими.

6 . Все мои друзья отлично знают мой характер, значит, тот, кто отлично знает мой характер – мой друг.

7 . Все трудолюбивые люди берутся за самую сложную работу. Следовательно, ни один из тех, кто не берется за самую сложную работу, не может считаться трудолюбивым человеком.

VI. В приведенных силлогизмах установите: следствие, больший термин, большую посылку, меньший термин, меньшую посылку, средний термин. Определите распределенность терминов.

1. Данная доверенность недействительна, так как в ней не указана д а та ее совершения, а доверенность, в которой не указана дата ее сове р шения, недействительна.

2. Некоторые птицы не летают, потому что все страусы – птицы и ни один страус не летает.

3. Некоторые женщины – писатели. Значит, среди тех, кто любит цв е ты, есть писатели, так как все женщины любят цветы.

VII. Докажите тремя способами: по особым правилам фигур, правилам терминов и правилам посылок, являются ли данные силлогизмы правильными, а заключение – истинным суждением.

1. Не всякий, кто умеет читать, может написать книгу.

Этот ребенок не может написать книгу .

Этот ребенок не умеет читать.

2. Все люди смертны.

Все выдающиеся писатели бессмертны .

Все выдающиеся писатели не люди.

3. Лук – оружие дикарей.

Это растение – лук .

Это растение – оружие дикарей.

4. Все цветы – растения.

Все розы – растения .

Все розы – цветы.

5. Некоторые предложения являются простыми.

Все суждения – предложения

Некоторые суждения являются простыми предложениями.

VIII. Установите фигуру и модус каждого приведенного ниже силлогизма, на этом основании установите, являются ли они правил ь ными:

1. Все планеты Солнечной системы вращаются вокруг Солнца.

Юпитер вращается вокруг Солнца по планетной орбите .

Юпитер – планета Солнечной системы.

2. Все дельфины плавают.

Все плавающие живут в воде .

Некоторые живущие в воде – дельфины.

3. Только люди верят в конец света.

Нет человека, не верящего в гармонию мира.

Никто из неверящих в гармонию мира не верит в конец света.

4. Лишь тот, кто храбр, достоин славы.

Некоторые хвастуны не храбры.

Некоторые хвастуны не достойны славы.

IX. Используя круговые схемы, определите, какие из следующих силлогизмов правильны:

1. Некоторые математики обладают способностью к быстрому счету.

Все программисты – математики.

Все программисты обладают способностью к быстрому счету.

2. Все события имеют начало и конец.

Все события происходят во времени .

Все то, что происходит во времени, имеет начало и конец.

3. . Некоторые писатели – женщины.

Все женщины любят красиво одеваться.

Некоторые писатели любят красиво одеваться.

X. Проверить корректность следующих энт и мем:

1. Все студенты культурны, поскольку они грамотны.

2. Данный силлогизм имеет три термина, значит, он правильный.

3. Так как все жидкости упруги, значит, некоторые металлы не упруги.

4. Как и все эгоисты, трус не является великодушным.

5. Так как всякий миф есть символ, то ясно, что и сказание о Геракле тоже символ.

6. Выступающий допустил нарушение закона тождества, так как он произвел подмену понятия.

7. «Оригинален, ибо мыслит» (А.С.Пушкин о Е.А.Баратынском).

83

PAGE 78

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.вшм>
8886.		ДЕДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ. ВЫВОДЫ ИЗ СЛОЖНЫХ СУЖДЕНИЙ (ВЫВОДЫ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ)	23.74 KB
	УСЛОВНО-КАТЕГОРИЧЕСКОЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ – умозаключение, одна из посылок которого условное, а вторая – категорическое суждение. Это умозаключение имеет четыре модуса: два правильных и два вероятных (неправильных). Правильные модусы дают достоверные заключения, т.е. от истинных посылок с необходимостью ведут к истинным заключениям. Правильным модусам соответствуют формулы – законы логики
7711.		Аудиторские выводы и представление отчета	20 KB
	Требования МСА предъявляемые к составлению аудиторского заключения по финансовой отчетности общего назначения. Отражение в аудиторском заключении результатов проверки прочей информации имеющей отношение к финансовой отчетности. Требования МСА предъявляемые к составлению аудиторского заключения по финансовой отчетности общего назначения Для подготовки аудиторского заключения в МСА предусмотрено три стандарта: МСА 700 Независимое аудиторское заключение по финансовой отчетности общего назначения описывает порядок составления...
16261.		Система индикаторов евразийской интеграции ЕАБР: основные выводы	54.74 KB
	Задачи и структура Системы индикаторов евразийской интеграции Региональная интеграция относится к процессам комплексной трансформации и характеризуется интенсификацией отношений между государствами. В то же время определение эффективных стратегий в области интеграции требует создания системы комплексного мониторинга и оценки текущих процессов взаимодействия стран на экономическом политическом и...
8883.		Суждение как форма мышления. Суждение и предложение. Виды простых суждений и их структура	42.17 KB
	СУЖДЕНИЕ Основные вопросы: Суждение как форма мышления. Суждение и предложение. Ключевые термины и понятия СУЖДЕНИЕ – форма мышления или мысль в которой утверждается или отрицается связь между предметом и его свойством отношение между предметами или существование предмета. В языке суждение как правило выражается повествовательным предложением.
8890.		ПРЕДМЕТ И ЗНАЧЕНИЕ ЛОГИКИ. ЯЗЫК ЛОГИКИ	21.87 KB
	Предмет формальной логики. Алфавиты символов языка логики высказываний и логики предикатов. Умозаключение – форма мышления в которой из одного или нескольких суждений называемых посылками умозаключения на основании определенных правил логики получается новое суждение следствие заключение.
8887.		НЕДЕДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ	22.32 KB
	Умозаключение по аналогии. Ключевые термины и понятия НЕДЕДУКТИВНОЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ – умозаключение в котором связь между посылками и заключением не является логическим законом и в котором истинность посылок не гарантирует истинность заключения. Недедуктивное умозаключение обычно дает не достоверное а лишь вероятностное правдоподобное проблематическое заключение при этом заключение может содержать новую информацию которой не было в посылках. Недедуктивное умозаключение называется также вероятностным или правдоподобным.
136.		Основные типы простых словосочетаний	6.2 KB
	Как правило просты словосочетания двусловны. К простым словосочетаниям относятся словосочетания в составе которых имеются аналитические формы слова например: буду говорить откровенно. К числу простых в семантическом отношении примыкают и словосочетания в которых зависимый компонент представляет собой синтаксическое или фразеологическое единство несвободное словосочетание например: человек низкого роста работать спустя рукава девушка шестнадцати лет.
9438.		Расчет простых и сложных цепей постоянного тока	94.42 KB
	Целью расчёта электрической цепи постоянного тока является определение некоторых параметров на основе исходных данных, из условия задачи. На практике используют несколько методов расчёта простых цепей. Один из них базируется на применении эквивалентных преобразований, позволяющих упростить цепь.
12360.		Техническая эксплуатация авиадвигателей в степени простых аппаратов	557.43 KB
	Техническая эксплуатация авиационной техники по своей природе является составной частью более широкого понятия - эксплуатация. Она включает в себя такие слагаемые, как подготовку летательных аппаратов (ЛА) к полетам, их техническое обслуживание, ремонт, хранение и транспортирование.
12205.		Разработка методики принятия педагогических решений на основе агрегирования нечетких суждений экспертов	48.73 KB
	Весьма важном направлением приложения принципов ТНМ в смысле проектирования и принятия эффективных педагогических решений представляется образовательный процесс в учебных заведениях, что характеризуется доминированием информации субъективного, лингвистического характера, что в целом объясняется отношением педагогических систем к категории гуманистических.

Логика высказываний – это логическая система, которая анализирует процессы рассуждения, опираясь на истинностные характеристики логических связок и отвлекаясь от внутренней структуры суждений.

Логика высказываний может строиться табличным методом или как исчисление, т.е. как система, позволяющая получать одни выражения из других на основании известных правил. Последняя называется системой натурального вывода . Аппаратом в ней служат правила вывода, каждое из которого является элементарной формой умозаключения.

Правила вывода – это предписания или разрешения, позволяющие из суждений одной логической структуры как посылок вывести суждение некоторой логической структуры как заключение. Их особенность заключается в том, что признание истинности заключения производится на основании не содержания посылок, а их структуры.

Правила вывода записываются в виде схемы, которая состоит из двух частей (верхней и нижней), разделенных горизонтальной линией – над чертой выписываются логические схемы посылок, под ней – заключение.

Схема правил вывода:

Читается: из посылок вида
можно вывести заключение В.

Правила выводов логики высказываний делят на основные и производные.

Основные правила – более простые и очевидные.

Производные выводятся из основных. Их введение сокращает процесс вывода.

Как основные, так и производные делятся на прямые и непрямые (косвенные).

Прямые правила указывают на непосредственную выводимость некоторых суждений из других суждений.

Непрямые (косвенные) правила выводов дают возможность заключить о правомерности некоторых выводов из правомерности других выводов.

Основные прямые правила:

Правила введения и удаления конъюнкции (В.К.), (У.К.):

Правила введения и удаления дизъюнкции (В.Д.), (У.Д.):

Правила удаления импликации (У.И.):

Правила введения и удаления эквивалентности (В.Э.), (У.Э.):

Правила введения и удаления двойного отрицания (В.О.), (У.О.):

В.О.

Основные непрямые правила

Правила введения импликации (В.И.) и сведения к абсурду (С.А.):

В.И.

Производные правила

Правило условного силлогизма

Доказательство:

Правило «modustоllens»:

Доказательство:

Правило отрицания дизъюнкции (О.Д.):

Доказательство:

Правило отрицания конъюнкции (О.К.)

Доказательство:

Правила контрапозиции:

Доказательство:

Доказательство:

Правило сложной контрапозиции:

Доказательство:

Правило простой конструктивной дилеммы (П.К.Д.)

Доказательство:

Правило сложной конструктивной дилеммы (С.К.Д.)

Доказательство:

Правило простой деструктивной дилеммы (П.Д.Д.)

Доказательство:

Правило сложной деструктивной дилеммы (С.Д.Д.)

Доказательство:

Вопросы для повторения

Что такое отношение логического следования? Как проверить, имеет ли оно место в умозаключении?

Что такое непосредственные умозаключения и каковы их виды?

Назовите правила посылок и правила терминов простого категорического силлогизма.

Что такое метод натурального вывода?

Каковы основные прямые и непрямые правила логики суждений?

Чем отличается прогрессивный полисиллогизм от регрессивного?

Часть первая. Дедуктивные и правдоподобные рассуждения

1 ГЛАВА. Предмет и задачи логики

1.1. Логика как наука

Логика относится к числу древнейших наук, первые учения которой о формах и способах рассуждений возникли еще в цивилизациях Древнего Востока (Китай, Индия). В западную культуру принципы и методы логики вошли главным образом благодаря усилиям античных греков. Развитая политическая жизнь в греческих государствах-полисах, борьба разных партий за влияние на массы свободных граждан, стремление решать возникавшие имущественные и иные конфликты через суд – все это требовало умения убеждать людей, защищать свою позицию на различных народных форумах, в государственных учреждениях, судебных заседаниях и т.п.

Искусство убеждения, ведения спора, мастерства обоснованно защищать свое мнение и возражать оппоненту в ходе спора и полемики культивировалось в рамках античной риторики, ориентированной на совершенствование ораторской речи, и эристики – специального учения о споре. Первые учителя риторики многое сделали для распространения и развития знаний о мастерстве убеждения, приемах спора и построения публичной речи, обращая особое внимание на эмоционально-психологические, нравственные и ораторские ее стороны и особенности. Однако впоследствии, когда школы риторики стали возглавлять софисты, они стремились научить своих учеников не поискам истины в ходе спора, а скорее выигрышу, победе в словесном состязании любой ценой. В этих целях широко использовались преднамеренные логические ошибки, которые в дальнейшем стали называть софизмами, а также разнообразные психологические уловки и приемы для отвлечения внимания оппонента, внушения, переключения спора с основной темы на второстепенные моменты и т.п.

Против этой тенденции в риторике решительно выступили великие античные философы Сократ, Платон и Аристотель, которые считали главным средством убеждения - обоснованность содержащихся в ораторской речи суждений, их правильную связь в процессе рассуждений, т.е. вывода одних суждений из других. Именно для анализа рассуждений и была создана Аристотелем (IV век до н.э.) первая система логики, названная силлогистикой. Она представляет собой простейшую, но вместе с тем наиболее часто используемую форму дедуктивных умозаключений, в которых заключение (вывод) получается из посылок по правилам логической дедукции. Заметим, что термин дедукция в переводе с латинского означает вывод.

Для пояснения сказанного обратимся к античному силлогизму:

Все люди смертны.

Кай – человек.____________

Следовательно, Кай смертен.

Здесь, как и в других силлогизмах, умозаключение совершается от общего знания о некотором классе предметов и явлений к знанию частному и единичному. Сразу же подчеркнем, что в других случаях дедукция может осуществляться от частного к частному или от общего к общему.

Главное, что объединяет все дедуктивные умозаключения, состоит в том, что заключение в них следует из посылок по логическим правилам вывода и имеет достоверный, объективный характер. Другими словами, заключение не зависит от воли, желаний и предпочтений рассуждающего субъекта. Если вы принимаете посылки такого умозаключения, то обязаны принять и его заключение.

Часто также заявляют, что определяющим признаком дедуктивных умозаключений является логически необходимый характер заключения, его достоверная истинность. Иначе говоря, в таких умозаключениях истинностное значение посылок полностью переносится на заключение. Вот почему дедуктивные умозаключения обладают наибольшей силой убеждения и широко применяются не только для доказательства теорем в математике, но и всюду, где необходимы достоверные заключения.

Очень часто в учебниках логика определяется как наука о законах правильного мышления или же принципах и способах правильных умозаключений. Поскольку, однако, остается неясным, какое мышление считается правильным, то в первой части определения содержится скрытая тавтология, так как неявно предполагается, что такая правильность достигается при соблюдении правил логики. Во второй части предмет логики определяется точнее, ибо главная задача логики сводится к анализу умозаключений, т.е. к выявлению способов получения одних суждений из других. Нетрудно заметить, что когда говорят о правильных умозаключениях, то неявно или даже явно имеют в виду дедуктивную логику. Именно в ней только и существуют вполне определенные правила для логического вывода заключений из посылок, с которыми мы познакомимся более детально в дальнейшем. Часто дедуктивную логику отождествляют также с формальной логикой на том основании, что последняя изучает формы умозаключений в отвлечении от конкретного содержания суждений. Такой взгляд, однако, не учитывает других способов и форм рассуждений, которые широко применяются как в опытных науках, изучающих природу, так и в социально-экономических и гуманитарных науках, опирающихся на факты и результаты общественной жизни. Да и в повседневной практике мы часто делаем обобщения и строим предположения, исходя из наблюдения частных случаев.

Рассуждения подобного рода, в которых на основе исследования и проверки каких-либо частных случаев приходят к заключению о неизученных случаях или о всех явлениях класса в целом, называют индуктивными. Термин индукция означает наведение и хорошо выражает сущность таких рассуждений. В них обычно изучаются свойства и отношения некоторого числа членов определенного класса предметов и явлений. Выявленное в результате этого общее свойство или отношение затем переносится на неисследованные члены или на весь класс полностью. Очевидно, что такое заключение не может считаться достоверно истинным, ибо среди неисследованных членов класса и тем более всего класса в целом могут оказаться члены, которые не обладают предполагаемым общим свойством. Поэтому заключения индукции имеют не достоверный, а лишь вероятностный характер. Часто такие заключения называют также правдоподобными, гипотетическими или предположительными, так как они не гарантируют достижение истины, а лишь наводят на нее. Они имеют эвристический (поисковый), а не достоверный характер, помогая искать истину, а не доказывать ее. Наряду с индуктивными рассуждениями сюда относят также выводы по аналогии и статистические обобщения.

Отличительная особенность подобных недедуктивных рассуждений состоит в том, что в них заключение не следует логически, т.е. по правилам дедукции, из посылок. Посылки лишь с той или иной степенью подтверждают заключение, делают его более или менее вероятным или правдоподобным, но не гарантируют его достоверной истинности. На этом основании вероятностные рассуждения иногда явно недооцениваются, считаются второстепенными, вспомогательными и даже исключаются из логики.

Такое отношение к недедуктивной и, в частности к индуктивной логике объясняется в основном следующими причинами:

Во-первых, – и это главное – проблематический, вероятностный характер индуктивных заключений и связанная с ним зависимость результатов от имеющихся данных, неотделимость от посылок, незавершенность заключений. Ведь с получением новых данных меняется и вероятность таких выводов.

Во-вторых, наличие субъективных моментов в оценке вероятностного логического отношения между посылками и заключением рассуждения. Одному эти посылки, например факты и свидетельства, могут показаться убедительными, другому – нет. Один считает, что они достаточно сильно подтверждают заключение, другой придерживается противоположного мнения. Подобных разногласий не возникает при дедуктивном выводе.

В-третьих, такое отношение к индукции объясняется также историческими обстоятельствами. Когда впервые возникла индуктивная логика, то ее создатели, в частности Ф. Бэкон, верили, что с помощью ее канонов, или правил, можно открывать новые истины в опытных науках чуть ли не чисто механическим путем. "Наш же путь открытия наук, – писал он, – немногое оставляет остроте и силе дарования, но почти уравнивает их. Подобно тому как для проведения прямой или описания совершенного круга много значат твердость, умелость и испытанность руки, если действовать только рукой, – мало или совсем ничего не значит, если пользоваться циркулем и линейкой. Так обстоит и с нашим методом". Говоря современным языком, творцы индуктивной логики рассматривали свои каноны как алгоритмы открытия. С развитием науки становилось все более очевидным, что с помощью таких правил (или алгоритмов) можно открывать лишь простейшие эмпирические связи между наблюдаемыми на опыте явлениями и характеризующими их величинами. Открытие же сложных связей и глубоких теоретических законов требовали использования всех средств и методов эмпирического и теоретического исследования, максимального применения психических и интеллектуальных способностей ученых, их опыта, интуиции и таланта. А это не могло не породить негативного отношения к механическому подходу к открытию, существовавшему раньше в индуктивной логике.

В-четвертых, расширение форм дедуктивных умозаключений, появление логики отношений и, в особенности, применение математических методов для анализа дедукции, которое завершилось созданием символической (или математической) логики во многом способствовало выдвижению на первый план именно дедуктивной логики.

Все это делает понятным, почему нередко предпочитают определять логику как науку о способах, правилах и законах дедуктивных умозаключений или как теорию логического вывода. Но нельзя забывать, что индукция, аналогия и статистика являются важными способами эвристического поиска истины, а потому они служат рациональными методами рассуждений. Ведь поиск истины можно вести наудачу, путем проб и ошибок, но такой способ крайне неэффективен, хотя иногда и используется. Наука к нему прибегает весьма редко, поскольку она ориентируется на поиск организованный, целенаправленный и системный.

Надо также учитывать, что общие истины (эмпирические и теоретические законы, принципы, гипотезы и обобщения), которые используются как посылки дедуктивных умозаключений, невозможно установить дедуктивно. Но нам могут возразить, что они не открываются и индуктивно. Тем не менее поскольку индуктивные рассуждения ориентируются на поиск истины, то они оказываются более полезным эвристическим средством исследования. Разумеется, в ходе проверки предположений и гипотез используется и дедукция, в частности для вывода следствий из них. Поэтому нельзя противопоставлять дедукцию индукции, поскольку в реальном процессе научного познания они предполагают и дополняют друг друга.

Следовательно логику можно определить как науку о рациональных методах рассуждений, которые охватывают как анализ правил дедукции (вывода заключений из посылок), так и исследование степени подтверждения вероятностных или правдоподобных заключений (гипотез, обобщений, предположений и т.д.).

Традиционная логика, которая сформировалась на основе логического учения Аристотеля, дополнилась в дальнейшем методами индуктивной логики, сформулированными Ф. Бэконом и систематизированными Дж.С. Миллем. Именно эта логика в течение долгого времени преподавалась в школах и университетах под именем формальной логики.

Возникновение математической логики коренным образом изменило отношение между дедуктивной и недедуктивной логиками, которое существовало в традиционной логике. Это изменение было сделано в пользу дедукции. Благодаря символизации и применению математических методов сама дедуктивная логика приобрела строго формальный характер. По сути дела, такую логику вполне правомерно рассматривать как математическую модель дедуктивных умозаключений. Нередко поэтому ее считают современной ступенью развития формальной логики, но забывают при этом добавить, что речь идет о дедуктивной логике.

Нередко также говорят, что математическая логика сводит процесс рассуждения к построению различных систем исчислений и тем самым заменяет естественный процесс мышления вычислениями. Однако модель всегда связана с упрощениями, поэтому она не может заменить оригинал. Действительно, математическая логика ориентируется прежде всего на математические доказательства, следовательно, абстрагируется от характера посылок (или аргументов), их обоснованности и приемлемости. Она считает такие посылки заданными или ранее доказанными.

Между тем в реальном процессе рассуждения, в споре, дискуссии, полемике анализ и оценка посылок приобретает особо важное значение. В ходе аргументации приходится выдвигать определенные тезисы и утверждения, находить убедительные доводы в их защиту, исправлять и дополнять их, приводить контраргументы и т.д. Здесь приходится обращаться уже к неформальным и недедуктивным способам рассуждений, в частности к индуктивному обобщению фактов, выводам по аналогии, статистическому анализу и т.д.

Рассматривая логику как науку о рациональных способах рассуждений, мы не должны забывать о других формах мышления – понятиях и суждениях, с освещения которых начинается любой учебник логики. Но суждения и тем более понятия играют вспомогательную роль в логике. С их помощью становится более ясной структура умозаключений, связь суждений в различных видах рассуждений. Понятия же входят в структуру любого суждения в виде субъекта, т. е. предмета мысли, и предиката – как признака, характеризующего субъект, а именно утверждающего наличие или отсутствие у предмета мысли определенного свойства. В нашем изложении мы придерживаемся общепринятой традиции и начинаем обсуждение с анализа понятий и суждений, а затем более подробно освещаем дедуктивные и недедуктивные способы рассуждений. В главе, где анализируются суждения, рассматриваются элементы исчисления высказываний, с которых обычно открывается любой курс математической логики.

Элементы логики предикатов освещаются в следующей главе, где в качестве частного случая рассматривается теория категорического силлогизма. Современные формы недедуктивных рассуждений нельзя, очевидно, понять без четкого разграничения логической и статистической интерпретации вероятности, поскольку под вероятностью подразумевается чаще всего как раз ее статистическое истолкование, которое имеет вспомогательное значение в логике. В связи с этим в главе, посвященной вероятностным рассуждениям, мы специально останавливаемся на выяснении различия между двумя интерпретациями вероятности и более подробно разъясняем особенности логической вероятности.

Таким образом, весь характер изложения в книге ориентирует читателя на то, что дедукция и индукция, достоверность и вероятность, движение мысли от общего к частному и от частного к общему не исключают, а скорее дополняют друг друга в общем процессе рационального рассуждения, направленного как на поиск истины, так и ее доказательство.

Свойства основных понятий раскрываются в аксиомах - предложениях, принимаемых без доказательства.

Например, в школьной геометрии есть аксиомы: «через любые две точки можно провести прямую и только одну» или «прямая разбивает плоскость на две полуплоскости».

Система аксиом любой математической теории, раскрывая свойства основных понятий, дает их определения. Такие определения называют аксиоматическими.

Доказываемые свойства понятий называют теоремами , следствиями, признаками, формулами, правилами.

Доказать теорему А В - это значит установить логическим путем, что всегда, когда выполняется свойство А , будет выполняться свойство В.

Доказательством в математике называют конечную последовательность предложений данной теории, каждое из которых либо является аксиомой, либо выводится из одного или нескольких предложений этой последовательности по правилам логического вывода.

В основе доказательства лежит рассуждение - логическая операция, в результате которой из одного или нескольких взаимосвязанных по смыслу предложений получается предложение, содержащее новое знание.

В качестве примера рассмотрим рассуждение школьника, которому надо установить отношение «меньше» между числами 7 и 8. Учащийся говорит: «7 < 8, потому что при счете 7 называют раньше, чем 8».

Выясним, на какие факты опирается вывод, полученный в этом рассуждении.

Таких фактов два: Первый: если число а при счете называют раньше числа b , то a < b . Второй: 7 при счете называют раньше, чем 8.

Первое предложение носит общий характер, так как содержит квантор общности - его называют общей посылкой. Второе предложение касается конкретных чисел 7 и 8 - его называют частной посылкой. Из двух посылок получен новый факт: 7 < 8, его называют заключением.

Между посылками и заключением существует определенная связь, благодаря которой они и составляют рассуждение.

Рассуждение, между посылками и заключением которого имеет место отношение следования, называют дедуктивным.

В логике вместо термина «рассуждения» чаще используется слово «умозаключение».

Умозаключение - это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося.

Умозаключение состоит из посылок и заключения.

Посылки - это , содержащие исходное знание.

Заключение - это высказывание, содержащее новое знание, полученное из исходного.

Как правило, заключение отделяется от посылок с помощью слов «следовательно», «значит». Умозаключение с посылками р 1, р 2, …, рn и заключением Р будем записывать в виде: или (р 1, р 2, …, рn) Р.

Примеры умозаключений: а) Число а = b. Число b = с . Следовательно, число а = с.

b) Если в дроби числитель меньше знаменателя, то дробь правильная. В дроби числитель меньше знаменателя (5<6) . Следовательно, дробь - правильная.

с) Если идет дождь, то на небе есть тучи. На небе есть тучи, следовательно, идет дождь.

Умозаключения могут быть правильными и неправильными.

Умозаключение называется правильным, если формула, соответствующая его структуре и представляющая собой конъюнкцию посылок, соединенная с заключением знаком импликации тождественно истинна.

Для того чтобы установить, является ли умозаключение правильным, поступают следующим образом:

1) формализуют все посылки и заключение;

2) записывают формулу, представляющую конъюнкцию посылок, соединенную знаком импликации с заключением;

3) составляют таблицу истинности для данной формулы;

4) если формула тождественно-истинна, то умозаключение правильное, если нет - то умозаключение неправильное.

В логике считают, что правильность умозаключения определяется его формой и не зависит от конкретного содержания входящих в него утверждений. И в логике предлагаются такие правила, соблюдая которые, можно строить дедуктивные умозаключения. Эти правила называют правилами вывода или схемами дедуктивных рассуждений.

Правил много, но наиболее часто используются следующие:

1. - правило заключения;

2. - правило отрицания;

3. - правило силлогизма.

Приведем пример умозаключения, выполненного по правилу заключения: «Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 15. Запись числа 135 оканчивается цифрой 5 . Следовательно, число 135 делится на 5 ».

В качестве общей посылки в этом умозаключении выступает утверждение «если А(х), то В(х) », где А(х) - это «запись числа х оканчивается цифрой 5 », а В(х) - «число х делится на 5 ». Частная посылка представляет собой высказывание, которое получилось из условия общей посылки при
х = 135 (т.е. А(135) ). Заключение является высказыванием, полученным из В(х) при х = 135 (т.е. В(135) ).

Приведем примерумозаключения, выполненного по правилу отрицания: «Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 5 . Число 177 не делится на 5 . Следовательно, оно не оканчивается цифрой 5 ».

Видим, что в этом умозаключении общая посылка такая же как и в предыдущем, а частная представляет собой отрицание высказывания «число 177 делится на 5 » (т.е. ). Заключение - это отрицание предложения «Запись числа 177 оканчивается цифрой 5 » (т.е. ).

И наконец, рассмотрим пример умозаключения, построенного по правилу силлогизма : «Если число х кратно 12, то оно кратно 6. Если число х кратно 6 , то оно кратно 3 . Следовательно, если число х кратно 12, то оно кратно 3 ».

В этом умозаключении две посылки: «если А(х), то В(х) » и «если В(х), то С(х) », где А(х) - «число х кратно 12 », В(х) - «число х кратно 6 » и С(х) - «число х кратно 3 ». Заключение представляет собой высказывание «если А(х), то С(х) ».

Проверим, правильны ли следующие умозаключения:

1) Если четырехугольник - ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны. АВС D - ромб. Следовательно, его диагонали взаимно перпендикулярны.

2) Если число делится на 4 , то оно делится на 2 . Число 22 делится на 2 . Следовательно, оно делится на 4.

3) Все деревья являются растениями. Сосна - дерево. Значит, сосна - растение.

4) Все учащиеся данного класса ходили в театр. Петя не был в театре. Следовательно, Петя - учащийся не данного класса.

5) Если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь правильная. Если дробь правильная, то она меньше 1. Следовательно, если числитель дроби меньше знаменателя, то дробь меньше 1.

Решение: 1) Для решения вопроса о правильности умозаключения выявим его логическую форму. Введем обозначения: С(х) - «четырехугольник х - ромб», В(х) - «в четырехугольнике х диагонали взаимно перпендикулярны». Тогда первую посылку можно записать в виде:
С(х) В(х), вторую - С(а), а заключение В(а).

Таким образом, форма данного умозаключения такова: . Оно построено по правилу заключения. Следовательно, данное рассуждение правильное.

2) Введем обозначения: А(х) - «число х делится на 4 », В(х) - «число х делится на 2 ». Тогда первую посылку запишем: А(х) В(х), вторую В(а), а заключение - А(а). Умозаключение примет форму: .

Такой логической формы среди известных нет. Легко заметить, что обе посылки истинны, а заключение ложно.

Значит, что данное рассуждение неправильное.

3) Введем обозначения. Пусть А(х) - «если х дерево», В(х) - «х растение». Тогда посылки примут вид: А(х) В(х), А(а), а заключение В(а). Наше умозаключение построено по форме: - правила заключения.

Значит, наше рассуждение построено верно.

4) Пусть А(х) - «х - учащиеся нашего класса», В(х) - «учащиеся х ходили в театр». Тогда посылки будут следующими: А(х) В(х), , а заключение .

Данное умозаключение построено по правилу отрицания:

- значит оно верное.

5) Выявим логическую форму умозаключения. Пусть А(х) - «числитель дроби х меньше знаменателя». В(х) - «дробь х - правильная». С(х) - «дробь х меньше 1 ». Тогда посылки примут вид: А(х) В(х), В(х) С(х), а заключение А(х) С(х).

Наше умозаключение будет следующей логической формы: - правило силлогизма.

Значит, данное умозаключение верно.

В логике рассматривают различные способы проверки правильности умозаключений, среди которых анализ правильности умозаключений с помощью кругов Эйлера. Его проводят следующим образом: записывают умозаключение на теоретико-множественном языке; изображают посылки на кругах Эйлера, считая их истинными; смотрят, всегда ли при этом истинно заключение. Если да, то говорят, что умозаключение построено правильно. Если же возможен рисунок, из которого видно, что заключение ложно, то говорят, что умозаключение неправильно.

Таблица 9

Словесная формулировка предложения	Запись на теоретико- множественном языке	Изображение на кругах Эйлера
Всякое А есть В
Некоторые А есть В Некоторые А не есть В
Ни одно А не есть В

а есть А
а не есть А

Покажем, что умозаключение, выполненное по правилу заключения, является дедуктивным. Сначала запишем это правило на теоретико-множественном языке.

Посылка А(х) В(х) может быть записана в виде ТА ТВ , где ТА и ТВ - множества истинности высказывательных форм А(х) и В(х).

Частная посылка А(а) означает, что а ТА, а заключение В(а) показывает, что а ТВ.

Все умозаключение, построенное по правилу заключения, запишется на теоретико-множественном языке так: .

	Изобразив на кругах Эйлера множества ТА и ТВ и обозначив элемент а ТА, мы увидим, что а ТВ (рис. 58). Значит, а Т аТ .

Рис. 58.

Примеры.

1. Правильно ли умозаключение «Если запись числа оканчивается цифрой 5, то число делится на 5. Число 125 делится на 5. Следовательно, запись числа 125 оканчивается цифрой 5 »?

Решение: Это умозаключение выполнено по схеме , что соответствует . Такой схемы среди известных нам нет. Выясним, является ли она правилом дедуктивного умозаключения?

Воспользуемся кругами Эйлера. На теоретико-множественном языке

полученное правило можно записать так:

. Изобразим на кругах Эйлера множества ТА и ТВ и обозначим элемент а из множества ТВ.

Оказывается, что он может содержаться в множестве ТА, а может и не принадлежать ему (рис. 59). В логике считают, что такая схема не является правилом дедуктивного умозаключения, так как не гарантирует истинности заключения.

Данное умозаключение не является правильным, так как выполнено по схеме, не гарантирующей истинности рассуждения.

Рис. 59.

б) Все глаголы отвечают на вопрос «что делать?» или «что сделать?». Слово «василек» не отвечает ни на один из этих вопросов. Следовательно, «василек» не является глаголом.

Решение: а) Запишем данное умозаключение на теоретико-множественном языке. Обозначим через А - множество студентов педагогического факультета, через В - множество студентов, являющихся учителями, через С - множество студентов, старше 20 лет.

Тогда умозаключение примет вид: .

Если изобразить данные множества на кругах, то возможно 2 случая:

1) множества А, В, С пересекаются;

2) множество В пересекается с множеством С и А, а множество А пересекается с В , но не пересекается с С.

б) Обозначим через А множество глаголов, а через В множество слов, отвечающих на вопрос «что делать?» или «что сделать?».

Тогда умозаключение можно записать в следующем виде:

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Ученику предлагается объяснить, почему число 23 можно представить в виде суммы 20 + 3. Он рассуждает: «Число 23 - двузначное. Любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Следовательно, 23 = 20 + 3».

Первое и второе предложения в этом умозаключении посылки, причем одна общего характера - это высказывание «любое двузначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых», а другая - частная, она характеризует только число 23 - оно двузначное. Заключение - это предложение, которое стоит после слова «следовательно», - также носит частный характер, так как в нем речь идет о конкретном числе 23.

Умозаключения, которые обычно используются при доказательствах теорем, основаны на понятии логического следования. При этом из определения логического следования вытекает, что при всех значениях высказывательных переменных, при которых истинны исходные высказывания (посылки), истинно и заключение теоремы. Такие умозаключения дедуктивные.

В примере, рассмотренном выше, приведенное умозаключение является дедуктивным.

Пример 2. Один из приемов ознакомления младших школьников с переместительным свойством умножения заключается в следующем. Используя различные средства наглядности, школьники вместе с учителем устанавливают, что, например, 6 3 = 36, 52 = 25. Затем на основе полученных равенств делают вывод: для всех натуральных чисел a и b верно равенство ab = ba.

В данном умозаключении посылками являются первые два равенства. В них утверждается, что для конкретных натуральных чисел выполняется такое свойство. Заключением в данном примере является утверждение общего характера - переместительное свойство умножения натуральных чисел.

В данном умозаключении посылки частного характера показывают, что некоторые натуральные числа обладают свойством: от перестановки множителей произведение не изменяется. И на этой основе сделан вывод, что этим свойством обладают все натуральные числа. Такие умозаключения называют неполной индукцией.

т.е. для некоторых натуральных чисел можно утверждать, что сумма меньше их произведения. Значит, на основании, что некоторые числа обладают данным свойством, можно сделать вывод, что этим свойством обладают все натуральные числа:

Данный пример - это пример рассуждения по аналогии.

Под аналогией понимают умозаключение, в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта.

Вывод по аналогии носит характер предположения, гипотезы и поэтому нуждается либо в доказательстве, либо в опровержении.