Как определить средние показатели ряда динамики. Средние показатели динамики: уровень ряда, абсолютный прирост, темп роста. Анализ рядов динамики

Ряд динамики, или временной ряд, -- это ряд расположенных в хронологической последовательности числовых значений некоторого статистического показателя, который характеризует изменение общественных или природных явлений во времени.

Каждый ряд динамики состоит из двух основных параметров: времени (?) и уровня ряда (у) (конкретное значение показателя). Уровни ряда динамики (у) могут быть абсолютными, средними или относительными показателями.

С помощью анализа рядов динамики можно обнаружить и измерить закономерности развития социально-экономических или природных явлений во времени. Данные закономерности не проявляются на каждом конкретном уровне, они проступают лишь в тенденции, на достаточно длительном промежутке времени. На главную закономерность динамики накладываются другие закономерности, в частности случайные и сезонные. Обнаружение основной тенденции изменения уровней в рядах динамики, которую называют трендом, - одна из основных задач анализа временных рядов.

В зависимости от характера изучаемого процесса уровни динамических рядов могут относиться или к определенным моментам (датам), например к началу или концу года, месяца, или к определенным периодам времени (год, квартал, месяц). Ряды первого вида называются моментными, а второго -- интервальными.

Моментные ряды динамики характеризуют изучаемый процесс на конкретные моменты времени. Пример моментального ряда приведен в табл. 8.1.

Таблица 8.1

Так как в каждом последующем уровне содержится полностью или частично значение предыдущего уровня, то суммировать уровни моментного ряда нельзя, потому что это приводит к повторному счету.

Интервальные, или периодические, ряды динамики отображают итоги развития изучаемых процессов за отдельные периоды времени. Пример интервального ряда приведен в табл. 8.2.

Таблица 8.2

Динамика уличных преступлений в РФ

Значения уровней интервального ряда не содержатся в предыдущих и последующих уровнях ряда, поэтому их можно суммировать, а это позволяет получать ряды динамики с укрупненными периодами.

Например, если просуммировать уровни ряда (табл. 8.2), то мы получим количество уличных преступлений в РФ с 1991 по 1995 г.

Периодический ряд, в котором последовательные уровни суммируются, можно представить как ряд с нарастающими итогами. При составлении таких рядов производится последовательное суммирование смежных уровней. Этим достигается суммарное обобщение результата развития изучаемого явления с начала отчетного периода (месяца, квартала, года и т. д.).

По расстоянию между уровнями динамические ряды подразделяются на ряды с равноотстоящими и неравноотстоящими уровнями по времени.

Примером динамического ряда с равноотстоящими уровнями является табл. 8.2.

Динамические ряды могут изображаться графически. Графическое изображение наглядно показывает развитие изучаемого процесса во времени и помогает проведению анализа уровней ряда. Наиболее распространенными видами графических изображений являются линейная диаграмма (она строится в прямоугольной системе координат), столбиковая диаграмма и др.

На рис. 8.1 представлена линейная диаграмма, полученная по динамическому ряду уличных преступлений в РФ (см. табл. 8.2).

При составлении рядов динамики надо соблюдать определенные правила: главным для получения правильных выводов при анализе рядов динамики и прогнозировании его уровней является сопоставимость его элементов между собой.

Уровни рядов динамики должны быть сопоставимы по территории, кругу охватываемых объектов, по времени регистрации, по единицам измерения, по методам расчета и т. д. Надо иметь в виду, что сопоставляемые уровни динамического ряда должны быть однородны по своему содержанию и границам объекта, который они характеризуют.

Несопоставимость может появиться из-за перехода ряда предприятий отрасли из одного подчинения в другое. Но сопоставимость не нарушится, если в отрасли введены в строй новые предприятия.

Сопоставимость по времени фиксации для интервальных рядов обеспечивается одинаковостью интервалов времени, за которые приводятся данные. В случае моментных динамических рядов параметры надо приводить на одну и ту же дату.

При нахождении уровня ряда динамики надо использовать единую методологию расчета. Например, до 1958 г. уровень производительности труда в промышленности вычислялся в расчете на одного рабочего, а с 1958 г. начал определяться в расчете на одного работающего (с включением ИТР, служащих, подсобных рабочих). Следовательно, уровни производительности труда, найденные до 1958 г., надо пересчитывать по новой методологии, чтобы они были сравнимы с уровнями, полученными после 1958 г.

Если уровни динамических рядов имеют разные единицы измерения, то их необходимо пересчитать к какой-то одной единице.

В некоторых случаях несопоставимость в рядах динамики может быть устранена с помощью приема, называемого смыканием рядов динамики.

Предположим, есть два ряда, которые характеризуют динамику одного и того же явления в новых и старых границах по одному и тому же кругу объектов. Такие динамические ряды можно сомкнуть.

Рассмотрим смыкание рядов динамики на конкретном примере.

Пример 8.1

До 1994 г. в УК РСФСР был один перечень тяжких преступлений, а в 1997 г. (после вступления в силу УК 1996 г.) его принципиально изменили. Поэтому обычный ряд динамики за 1991-1997 гг. не может быть составлен, так как имеющиеся данные несопоставимы.

В табл. 8.3 заданы два ряда: один (1991-1994 гг.) - по старому перечню тяжких преступлений, другой (1994-1996 гг.) - по новому, расширенному. Необходимо сомкнуть эти два динамических ряда.

Таблица 8.3

Динамика тяжких преступлений в городе N

Старый перечень
Новый перечень
Сомкнутый ряд

Для смыкания приведенных рядов по данным 1994 г. вычисляем коэффициент соотношения соответствующих уровней двух рядов:

Умножаем на этот коэффициент уровни первого ряда (1991-1994 гг.) и находим скорректированные данные за 1991-1994 гг., т. е.

Сомкнутый сопоставимый динамический ряд представлен в четвертой строке табл. 8.3. Заметим, что результаты, которые получены путем смыкания рядов, являются приближенными и содержат некоторую ошибку.

Сущность рядов динамики и их виды.

Аналитические показатели динамических рядов.

Средние характеристики динамических рядов.

Смыкание динамических рядов и приведение их к одному основанию.

Выравнивание динамических рядов.

Выявление сезонных колебаний.

Интерполяция и экстраполяция уровней динамических рядов.

В предыдущих темах мы научились рассчитывать различные статистические показатели, но не учитывали, что они меняются во времени. Если рассчитать, например, среднюю зарплату за ряд лет, то получим ее динамический ряд. Таким образом возникает одна из важнейших статистических задач – составление и анализ рядов динамики, которые характеризуют развитие социально – экономических явлений во времени .

Ряд статистических показателей, расположенных в хронологической последовательности, называют рядом динамики или временным рядом.

Момент времени времени

Период времени

моментный ряд динамики

интервальный

ряд динамики

Рис. 1. Виды рядов динамики

Уровень моментного ряда динамики характеризует состояние какого-то явления на определённую дату, а уровень интервального ряда динамики характеризует итог развития какого-то явления за определённый период времени.

Следует иметь в виду, что моментные ряды могут быть построены из абсолютных и относительных величин, а интервальные ряды – из любых величин. Уровни интервальных рядов, построенных из абсолютных величин, можно суммировать (производство продукции по годам), для моментных же рядов сумма уровней даже из абсолютных величин не имеет смысла (численность студентов).

При построении динамических рядов возникает проблема сопоставимости их уровней.

Уровни динамического ряда должны быть сопоставимы, т.е. однородны по своему содержанию за разные периоды времени или на разные моменты времени.

Однако существует ряд причин, которые нарушают сопоставимость уровней. Основные причины следующие:

1. Различный охват единиц совокупности, по которым рассчитываются уровни динамического ряда (пример со средним баллом: стационар + заочники).

2. Различная методология расчётов статистических показателей (пример с производством электроэнергии).

3. Цены (Большинство экономических показателей стоимостные, и постоянный рост цен приводит к несопоставимости уровней динамических рядов).

Основные задачи статистического анализа рядов динамики:

1. Характеристика интенсивности изменения уровней рядов динамики. Эта задача решается с помощью системы аналитических показателей (второй вопрос темы).

2. Обобщающая характеристика динамики явления. Эта заача решается с помощью расчета средних показателей рядов динамики (третий вопрос темы).

3. Выявление основных закономерностей динамики явления. Для решения этой задачи используют различные методы выравнивания (четвертый вопрос).

4. Прогноз развития явления. Существует множество методов прогноза, то есть экстраполяции выявленной закономерности развития (Простейшие – пятый вопрос).

Аналитические показатели динамических рядов рассчитываются путём сопоставления уровней динамического ряда. Назначение этих показателей - охарактеризовать интенсивность изменения уровней динамического ряда.

Сравнение уровней динамического ряда может проводиться двумя способами: цепным и базисным.

При цепном способе сравнения каждый уровень сравнивается с предыдущим и получают цепные аналитические показатели или показатели с переменной базой сравнения.

При базисном способе сравнения каждый уровень динамического ряда сравнивается с базисным уровнем (обычно начальный уровень ряда) и полученные таким способом показатели называются базисными или показателями с постоянной базой сравнения. Введем обозначения.

Уровни динамического ряда – у 0 , у 1 , у 2 ,…,у n

y 0 – базисный уровень

при цепном способе у 0 , у 1 , у 2 ,…,у n

при базисном у 0 , у 1 , у 2 ,…,у n

Чаще всего рассчитывают следующие аналитические показатели:

1. Абсолютный прирост или абсолютное отклонение.

2. Темп роста.

3. Темп прироста (относительное отклонение).

4. Абсолютное содержание 1% прироста.

Рассмотрим названные показатели.

Абсолютный прирост – разность уровней динамического ряда. Он показывает, на сколько единиц своего измерения изменился статистический показатель.

Цепной абсолютный прирост - это разница между каждым последующим и каждым предыдущим уровнями ряда.

Базисный абсолютный прирост – это разница между каждым последующим уровнем ряда и уровнем, принятым за базу сравнения.

Сумма цепных приростов даёт последний базисный прирост.

Темп роста – отношение уровней динамического ряда, следовательно, он показывает, во сколько раз изменился статистический показатель. Темпы роста могут выражаться в коэффициента и в процентах.

(последний)

Произведение цепных темпов роста (П) даёт темп роста базисный последний.

Темп прироста – отношение абсолютного прироста (цепного или базисного) к предыдущему или базисному уровню, т.е. это относительное отклонение, которое показывает, на сколько процентов изменился статистический показатель.

Абсолютное содержание 1% прироста – отношение абсолютного цепного прироста к цепному темпу прироста, выраженному в %, т.е. он показывает, сколько «стоит» 1% прироста.

Таблица 15 – Динамика производства электроэнергии в Республике Беларусь

Показатели	2008 г.	2009 г.	2010 г.
1 Производство электроэнергии, млрд. кВт/ч	31,2	33,1	32,7
2 Абсолютное отклонение, млрд. кВт/ч
- к предыдущему году	-	1,9	-0,4
- к 2008 г.		1,9	1,5
3 Темп роста, %
- к предыдущему году	-	10,1	98,8
- к 2008 г.	100,0	106,1	104,8
4 Темп прироста, %
- к предыдущему году	-	6,1	-1,2
- к 2008 г.		6,1	4,8
Абсолютное содержание 1% изменения, млрд. кВт/ч		0,312	0,331

В 2010 г. производство электроэнергии в Республике Беларусь выросло по сравнению с 2008 г. на 1,5 млрд.квт-час или 4,8%, однако по сравнению с 2009 г. оно снизилось на 0,4 млрд.квт-час или 1,2%. 1% снижения составляет 0,331млрд.квт-час.

Для обобщения рядов динамики рассчитывают их средние характеристики. Можно выделить две группы таких характеристик:

1. Средние уровни динамического ряда.

2. Средние аналитические показатели динамического ряда.

Рассмотрим расчёт показателей первой группы.

Расчёт среднего уровня зависит от вида динамического ряда. Для интервальных рядов с равными периодами времени средний уровень рассчитывается по формуле средней арифметической простой:

Для интервальных рядов с неравными периодами времени используется среднеарифметическая взвешенная.

Для моментных рядов с равностоящими датами средний уровень ряда рассчитывается по средней хронологической.

Для моментных рядов с неравноотстоящими датами используют среднюю арифметическую взвешенную.

Пример. На 1 января стоимость основных средств составила 7,5 млрд. рублей. В марте введено основных средств на сумму 1,2 млрд. рублей. В мае их выбыло на 0,7 млрд. рублей. В сентябре ввели основные средства на 0,8 млрд. рублей. Определить среднегодовую стоимость основных средств.

Ряды динамики - это значения статистических показателей, которые представлены в определенной хронологической последовательности.

Каждый динамический ряд содержит две составляющие:

Уровни ряда выражаются как абсолютными, так и средними или относительными величинами. В зависимости от характера показателей строят динамические ряды абсолютных, относительных и средних величин. Ряды динамики из относительных и средних величин строят на основе производных рядов абсолютных величин. Различают интервальные и моментные ряды динамики.

Динамический интервальный ряд содержит значения показателей за определенные периоды времени. В интервальном ряду уровни можно суммировать, получая объем явления за более длительный период, или так называемые накопленные итоги.

Динамический моментный ряд отражает значения показателей на определенный момент времени (дату времени). В моментных рядах исследователя может интересовать только разность явлений, отражающая изменение уровня ряда между определенными датами, поскольку сумма уровней здесь не имеет реального содержания. Накопленные итоги здесь не рассчитываются.

Важнейшим условием правильного построения динамических рядов является сопоставимость уровней рядов , относящихся к различным периодам. Уровни должны быть представлены в однородных величинах, должна иметь место одинаковая полнота охвата различных частей явления.

Для того, чтобы избежать искажения реальной динамики, в статистическом исследовании проводятся предварительные расчеты (смыкание рядов динамики), которые предшествуют статистическому анализу динамических рядов. Под смыканием рядов динамики понимается объединение в один ряд двух и более рядов, уровни которых рассчитаны по разной методологии или не соответствуют территориальным границам и т.д. Смыкание рядов динамики может предполагать также приведение абсолютных уровней рядов динамики к общему основанию, что нивелирует несопоставимость уровней рядов динамики.

Показатели изменений уровней динамических рядов

Для характеристики интенсивности развития во времени используются статистические показатели, получаемые сравнением уровней между собой, в результате чего получаем систему абсолютных и относительных показателей динамики: абсолютный прирост, коэффициент роста, темп роста, темп прироста, абсолютное значение 1% прироста. Для характеристики интенсивности развития за длительный период рассчитываются средние показатели: средний уровень ряда, средний абсолютный прирост, средний коэффициент роста, средний темп роста, средний темп прироста, среднее абсолютное значение 1% прироста.

Если в ходе исследования необходимо сравнить несколько последовательных уровней, то можно получить или сравнение с постоянной базой (базисные показатели), или сравнение с переменной базой (цепные показатели).

Базисные показатели характеризуют итоговый результат всех изменений в уровнях ряда от периода базисного уровня до данного (i-го) периода.

Цепные показатели характеризуют интенсивность изменения уровня от одного периода к другому в пределах того промежутка времени, который исследуется.

Абсолютный прирост выражает абсолютную скорость изменения ряда динамики и определяется как разность между данным уровнем и уровнем, принятым за базу сравнения.

Абсолютный прирост (базисный)

(9.1)

где y i - уровень сравниваемого периода; y 0 - уровень базисного периода.

Абсолютный прирост с переменной базой (цепной), который называют скоростью роста,

(9.2)

где y i - уровень сравниваемого периода; y i-1 - уровень предшествующего периода.

Коэффициент роста K i определяется как отношение данного уровня к предыдущему или базисному, показывает относительную скорость изменения ряда. Если коэффициент роста выражается в процентах, то его называют темпом роста.

Коэффициент роста базисный

Коэффициент роста цепной

Темп роста

(9.5)

Темп прироста Т П определяется как отношение абсолютного прироста данного уровня к предыдущему или базисному.

Темп прироста базисный

(9.6)

Темп прироста цепной

(9.7)

1) Т п = Т р - 100%; 2) Т п = K i - 1. (9.8)

Абсолютное значение одного процента прироста A i . Этот показатель служит косвенной мерой базисного уровня. Представляет собой одну сотую часть базисного уровня, но одновременно представляет собой и отношение абсолютного прироста к соответствующему темпу роста.

Данный показатель рассчитывают по формуле

(9.9)

Для характеристики динамики изучаемого явления за продолжительный период рассчитывают группу средних показателей динамики. Можно выделить две категории показателей в этой группе: а) средние уровни ряда; б) средние показатели изменения уровней ряда.

Средние уровни ряда рассчитываются в зависимости от вида временного ряда.

Для интервального ряда динамики абсолютных показателей средний уровень ряда рассчитывается по формуле простой средней арифметической:

где n - число уровней ряда.

Для моментного динамического ряда средний уровень определяется следующим образом.

Средний уровень моментного ряда с равными интервалами рассчитывается по формуле средней хронологической:

(9.11)

где n - число дат.

Средний уровень моментного ряда с неравными интервалами рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной, где в качестве весов берется продолжительность промежутков времени между временными моментами изменений в уровнях динамического ряда:

где t - продолжительность периода (дни, месяцы), в течение которого уровень не изменялся.

Средний абсолютный прирост (средняя скорость роста) определяется как средняя арифметическая из показателей скорости роста за отдельные периоды времени:

(9.13)

где y n - конечный уровень ряда; y 1 - начальный уровень ряда.

Средний коэффициент роста () рассчитывается по формуле средней геометрической из показателей коэффициентов роста за отдельные периоды:

(9.14)

где К р1 , К р2 , ..., К р n-1 - коэффициенты роста по сравнению с предыдущим периодом; n - число уровней ряда.

Средний коэффициент роста можно определить иначе:

Средний темп роста , %. Это средний коэффициент роста, который выражается в процентах:

Средний темп прироста , %. Для расчета данного показателя первоначально определяется средний темп роста, который затем уменьшается на 100%. Его также можно определить, если уменьшить средний коэффициент роста на единицу:

Среднее абсолютное значение 1% прироста можно рассчитать по формуле

Способы обработки динамического ряда

В ходе обработки динамического ряда важнейшей задачей является выявление основной тенденции развития явления (тренда) и сглаживание случайных колебаний. Для решения этой задачи в статистике существуют особые способы, которые называют методами выравнивания.

Выделяют три основных способа обработки динамического ряда:

а) укрупнение интервалов динамического ряда и расчет средних для каждого укрупненного интервала;

б) метод скользящей средней;

в) аналитическое выравнивание (выравнивание по аналитическим формулам).

Укрупнение интервалов - наиболее простой способ. Он заключается в преобразовании первоначальных рядов динамики в более крупные по продолжительности временных периодов, что позволяет более четко выявить действие основной тенденции (основных факторов) изменения уровней.

По интервальным рядам итоги исчисляются путем простого суммирования уровней первоначальных рядов. Для других случаев расcчитывают средние величины укрупненных рядов (переменная средняя ). Переменная средняя рассчитывается по формулам простой средней арифметической.

Скользящая средняя - это такая динамическая средняя, которая последовательно рассчитывается при передвижении на один интервал при заданной продолжительности периода. Если, предположим, продолжительность периода равна 3, то скользящие средние рассчитываются следующим образом:

(9.19)

При четных периодах скользящей средней можно центрировать данные, т.е. определять среднюю из найденных средних. К примеру, если скользящая исчисляется с продолжительностью периода, равной 2, то центрированные средние можно определить так:

(9.20)

Первую рассчитанную центрированную относят ко второму периоду, вторую - к третьему, третью - к четвертому и т.д. По сравнению с фактическим сглаженный ряд становится короче на (m - 1)/2, где m - число уровней интервала.

Важнейшим способом количественного выражения общей тенденции изменения уровней динамического ряда является аналитическое выравнивание ряда динамики , которое позволяет получить описание плавной линии развития ряда. При этом эмпирические уровни заменяются уровнями, которые рассчитываются на основе определенной кривой, где уравнение рассматривается как функция времени. Вид уравнения зависит от конкретного характера динамики развития. Его можно определить как теоретически, так и практически. Теоретический анализ основывается на рассчитанных показателях динамики. Практический анализ - на исследовании линейной диаграммы.

Задачей аналитического выравнивания является определение не только общей тенденции развития явления, но и некоторых недостающих значений как внутри периода, так и за его пределами. Способ определения неизвестных значений внутри динамического ряда называют интерполяцией. Эти неизвестные значения можно определить:

1) используя полусумму уровней, расположенных рядом с интерполируемыми;

2) по среднему абсолютному приросту;

3) по темпу роста.

Способ определения количественных значений за пределами ряда называют экстраполяцией . Экстраполирование используется для прогнозирования тех факторов, которые не только в прошлом и настоящем обусловливают развитие явления, но и могут оказать влияние на его развитие в будущем.

Экстраполировать можно по средней арифметической, по среднему абсолютному приросту, по среднему темпу роста.

Сезонной неравномерности (сезонных колебаний ), под которыми понимают устойчивые внутригодовые колебания, причиной которых являются многочисленные факторы, в том числе и природно-климатические. Сезонные колебания измеряются с помощью индексов сезонности , которые рассчитываются двумя способами в зависимости от характера динамического развития.

При относительно неизменном годовом уровне явления индекс сезонности можно рассчитать как процентное отношение средней величины из фактических уровней одноименных месяцев к общему среднему уровню за исследуемый период:

(9.23)

В условиях изменчивости годового уровня индекс сезонности определяется как процентное отношение средней величины из фактических уровней одноименных месяцев к средней величине из выровненных уровней одноименных месяцев.

16. Показатели динамического ряда, их вычисление и практическое применение.

Динамический ряд ― ряд однородных сопоставимых величин, показывающих изменение изучаемого явления во времени. Это статистическая форма отображения развития явлений во времени. Числа, составляющие динамический ряд, принято называть уровнями ряда. Уровни ряда могут быть представлены абсолютными числами, относительными и средними величинами .

Различают следующие виды динамических рядов.

Простой ― ряд, составленный из абсолютных величин, характеризующих

динамику одного явления.

Простые ряды являются исходными для построения производных рядов.

Производный ― ряд, состоящий из средних или относительных величин.

Интервальный ряд состоит из последовательного ряда чисел, характеризующих изменение явления на определенный период (по времени).

Моментный ряд состоит из величин, определяющих размеры явления не за какой-либо отрезок времени, а на определенную дату - момент.

Для более глубокого понимания сути развития общественных явлений исчисляют такие показатели динамического ряда, как абсолютный прирост, темп прироста, темп роста, абсолютное значение 1% прироста.

Абсолютным приростом называют разницу между каждым последующим уровнем и уровнем предыдущим. Абсолютный прирост может быть положительным и отрицательным.

Темпом роста называется отношение каждого последующего уровня к предыдущему, выраженному в процентах.

Темпом прироста называется отношение абсолютного прироста к предыдущему уровню, принятому за 100%.

Так как каждому относительному показателю соответствуют определенные абсолютные величины, то при изучении темпов прироста нужно обязательно учитывать, какая абсолютная величина соответствует каждому проценту прироста, каково его содержание. Для этого исчисляется такой показатель, как абсолютное значение одногопроцента прироста. Он определяется как частное от деления абсолютного прироста за определенный период на темп прироста в процентах за этот же период.

Для иллюстрации расчетов рассмотренных статистических показателей приведем ряд динамики.

Приведем пример. Необходимо дать анализ динамики рождаемости в определенном районе (таблица 5).

Т а б л и ц а 5 - Динамика рождаемости в регионе за 1996–2005гг .

	Рождаемость, %	Абсолютный прирост	Темп прироста, %	Темп роста, %	Абсолютное значение 1% прироста

1. Определяем абсолютный прирост: 8,9 – 9,4 = – 0,5; 9,2 – 8,9 = 0,3 и т.д.

Вычисляем темп прироста: – 0,5×100/9,4 = – 5,3 и т.д.

3. Находим темп роста: 8,9×100/9,4 = 94,7 и т.д.

4. Получаем абсолютное значение 1% прироста: – 0,5/ – 5,3 = 0,09

Динамический ряд не всегда состоит из уровней, последовательно изменяющихся в сторону снижения или увеличения. Нередко уровни динамического ряда резко колеблются, и это не позволяет выявить основную тенденцию, свойственную изучаемому явлению за определённый период времени. В таких случаях проводится выравнивание динамического ряда. Существует несколько способов выравнивания динамического ряда: укрупнения интервала, сглаживание путем вычисления скользящей средней, аналитическое выравнивание по прямой и др.

Рассмотрим выравнивание по прямой линии, которое осуществляется следующим образом:

У t (теоретические уровни) = а o +а 1 t, где t - условное обозначение времени, а o и а 1 - параметры искомой прямой, которые находятся из решения системы уравнений:

na 0 + a 1 Σt = Σy;

a 0 Σt + a 1 Σt 2 = Σyt; где y - фактические уровни; n - число рядов динамики. Система уравнений упрощается, если t подобрать так, чтобы их сумма равнялась 0, т.е. начало отсчета времени перенести в середину рассматриваемого периода. Тогда:

a 0 = Σy/n; a 1 = Σyt/ Σt 2 .

Подставляя полученные значения a 0 и a 1 в формулу, вычисляют все значения теоретического уровня.

Рассмотрим следующий пример (таблица 6):

Т а б л и ц а 6: Выравнивание рождаемости за 2003–2008 г г.

	Рождаемость, (у)	Условное обозначение времени, t			Теоретический уровень после выравнивания	Трехлетние скользящие средние

n = 6 Σy = 53,6 Σyt = – 30,6 Σ tt=70.

Если ряд четный, отсчет ведется с 1 (середина ряда), затем последовательно нечетные числа 3, 5, 7 и т.д. в обе стороны (вверх с – ; вниз с +); если ряд нечетный, отсчет условного обозначения времени ведется с 0 (середина ряда), затем - 1, 2, 3 и т.д. в обе стороны.

Порядок вычисления следующий:

У t (теоретические уровни) = а o +а 1 t;

a 0 = Σy/n; a 1 = Σyt/ Σt 2 ;

a 0 = 8,9 a 1 = – 0,4;

8,9 + (– 0,4) × (– 5) = 11;

8,9 + (– 0,4) × (– 3) = 10,1; и т.д.

Порядок вычисления скользящей средней:

Для 2004 года (9,4 + 8,9 + 9,2) / 3 = 9,2.

Для 2005 года (8,9 + 9,2 + 8,3) / 3 = 8,8 и т.д.

Укрупнение интервала производят путём суммирования данных за ряд смежных периодов (таблица 7).

Т а б л и ц а 7

Рождаемость

За 2003–2005 рождаемость составляет 9,4+8,9+9,2=27,5.

За 2006–2008 рождаемость составляет 8,3+9,4+8,4=26,1.

17. Связи между явлениями (функциональная, корреляционная). Виды корреляционной связи по силе и направлению. Метод корреляции рядов (Пирсона), этапы вычисления коэффициента корреляции, оценка достоверности

Все явления в природе и обществе находятся во взаимной связи. По характеру зависимости явлений различают:

функциональную (полную);

корреляционную (неполную) связи.

Функциональная связь означает строгую зависимость явлений, когда любому значению одного из них всегда соответствует определенное одно и тоже значение другого.

При корреляционной же связи одной и той же величине одного признака соответствуют разные величины другого. Например: между ростом и весом имеется корреляционная связь, между заболеваемостью злокачественными новообразованиямии возрастом и т.д.

По направлению различают прямые и обратные корреляционные связи. При прямой ― увеличение одного из признаков ведет к увеличению другого; при обратном же ― с увеличением одного признака второй уменьшается.

По силе связь может быть сильной, средней и слабой. На основе статистического анализа можно установить наличие связи, ее направление и измерить ее силу.

Одним из способов измерения связи между явлениями является вычисление коэффициента корреляции, который обозначается r ху. Наиболее точным является метод квадратов (Пирсона), при котором коэффициент корреляции определяется по формуле:
, где

r ху ― коэффициент корреляции между статистическим рядом X и Y.

d х ― отклонение каждого из чисел статистического ряда X от своей средней арифметической.

d у ― отклонение каждого из чисел статистического ряда Y от своей средней арифметической.

В зависимости от силы связи и ее направления коэффициент корреляции может находиться в пределах от 0 до 1 (-1). Коэффициент корреляции, равный 0, говорит о полном отсутствии связи. Чем ближе уровень коэффициента корреляции к 1 или (-1), тем соответственно больше, теснее измеряемая им прямая или обратная связь. При коэффициенте корреляции равном 1 или (-1) связь полная, функциональная.

Схема оценки силы корреляционной связи по коэффициенту корреляции

Сила связи	Величина коэффициента корреляции при наличии
	прямой связи (+)	обратной связи (-)
Связь отсутствует
Связь малая (слабая)	от 0 до +0,29	от 0 до –0,29
Связь средняя (умеренная)	от +0,3 до +0,69	от –0,3 до –0,69
Связь большая (сильная)	от +0,7 до +0,99	от –0,7 до –0,99
Связь полная (функциональная)

Для вычисления коэффициента корреляции по методу квадратов составляется таблица из 7 колонок. Разберем процесс вычисления на примере:

ОПРЕДЕЛИТЬ СИЛУ И ХАРАКТЕР СВЯЗИ МЕЖДУ

	Пора- ность зобом (V y )	d x = V x –M x	d y = V y –M y	d x d y	d x 2	d y 2
				Σ -1345 ,0	Σ 13996 ,0	Σ 313 , 47

1. Определяем среднее содержание йода в воде (в мг/л).

мг/л

2.Определяем среднюю пораженность зобом в %.

3. Определяем отклонение каждого V x от М x , т.е. d x .

201–138=63; 178–138=40 и т.д.

4. Аналогично определяем отклонение каждого V у от M у, т.е. d у.

0,2–3,8=-3,6; 0,6–38=-3,2 и т.д.

5. Определяем произведения отклонений. Полученное произведение суммируем и получаем.

6. d х возводим в квадрат и результаты суммируем, получаем.

7. Аналогично возводим в квадрат d у, результаты суммируем, получим

8. Наконец, все полученные суммы подставляем в формулу:

Для решения вопроса о достоверности коэффициента корреляции определяют его среднюю ошибку по формуле:

(Если число наблюдений менее 30, тогда в знаменателе n–1).

В нашем примере

Величина коэффициента корреляции считается достоверной, если не менее чем в 3 раза превышает свою среднюю ошибку.

В нашем примере

Таким образом, коэффициент корреляции не достоверен, что вызывает необходимость увеличения числа наблюдений.

Коэффициент корреляции можно определить несколько менее точным, но намного более легким способом ― методом рангов (Спирмена).

Оценка достоверности:

1. оценка достоверности интенсивного показателя:

m = √P x q / n(корень со всего)

где p - показатель, выраженный в %, ‰, %оо и т.д. q = (100 - р), при p выраженном в %; или (1000 - р), при p выраженном в ‰ или (10000 - р), при p выраженном в %оо и т.д.

t=1, достоверность 68,3%

2. Оценка достоверности разности 2 интенсивных показателей

М1 и м2 ошибки репрезентативности.

3. оценка достоверности среднеарифметической

Где σ - среднеквадратическое отклонение n - число наблюдений

T=M/m, если t больше 2 , ср. арифметическая достоверна.

4 .оценка достоверности разности 2 ср. арифметических

Для обобщающей характеристики динамики исследуемого явления определяют средние показатели: средние уровни ряда и средние показатели изменения уровней ряда.

Средний уровень ряда характеризует обобщённую величину абсолютных уровней. Он рассчитывается по средней хронологической, т.е. по средней исчисленной из значений, изменяющихся во времени.

Методы расчета среднего уровня интервального и моментного рядов динамики различны.

Для интервальных рядов динамики из абсолютных уровней средний за период времени определяется по формуле средней арифметической:

а) при равных интервалах применяется средняя арифметическая простая:

где у 1 ,…,у n – абсолютные уровни ряда;n – число уровней ряда.

б) при неравных интервалах – средняя арифметическая взвешенная:

,

где у 1 ,…,у n – уровни ряда динамики, сохраняющиеся без изменения в течение промежутка времени,t ;t 1 ,…, t n – веса, длительность интервалов времени (дней, месяцев) между смежными датами.

Средний уровень производства электроэнергии за 1989-1994 гг.:

Средний уровень моментного ряда динамики с равноотстоящими уровнями определяется по формуле средней хронологической моментного ряда:

,

где у 1 ,…,у n – уровни периода, за который делается расчет;n – число уровней;n –1 – длительность периода времени.

Обобщающий показатель скорости изменения уровней во времени - средний абсолютный прирост (убыль), представляющий собой обобщенную характеристику индивидуальных абсолютных приростов ряда динамики. По цепным данным об абсолютных приростах за ряд лет можно рассчитать средний годовой абсолютный прирост как среднюю арифметическую простую:

,

где n – число цепных абсолютных приростов
визучаемом периоде.

Используя данные табл. 5 о цепных абсолютных приростах производства электроэнергии, млрд кВт-ч:

(5 – 14 – 60 – 51 – 81) : 5 = ‑201: 5 = ‑40,2

Средний абсолютный прирост определим через накопленный (базисный) абсолютный прирост
. Для случая равных интервалов применим следующую формулу:

,

где т -

Для нашего примера, млрд кВт-ч:

т.е. получен тот же результат.

Сводной обобщающей характеристикой интенсивности изменения уровней ряда динамики служит средний темп роста (снижения), показывающий во сколько раз в среднем за единицу времени изменяется уровень ряда динамики.

Средний темп роста (снижения) - обобщенная характеристика индивидуальных темпов роста ряда динамики. В качестве основы и критерия правильности исчисления среднего темпа (снижения) применяется определяющий показатель - произведение цепных темпов роста, равное темпу роста за весь рассматриваемый период. Следовательно, если значение признака образуется как произведение отдельных вариантов, то нужно применять среднюю геометрическую. Поскольку средний темп роста представляет собой средний коэффициент роста, выраженный в процентах,
, то для равностоящих рядов динамикирасчеты по средней геометрической сводятся к исчислению средних коэффициентов роста из цепных коэффициентов роста (по цепному способу):

где n – число цепных коэффициентов роста;
‑ цепные коэффициенты роста;‑ базисный коэффициент роста за весь период.

В нашем примере среднегодовой темп изменения производства электроэнергии с 1990 по 1994г.:

Следовательно, с 1990 по 1994г. производство электроэнергии в России снижалось в среднем на 4 % в год, т.е. (0,96 * 100) – 100.

Если известны уровни динамического ряда, то расчет среднего коэффициента роста упрощается. Так как произведение цепных коэффициентов роста равно базисному, то в подкоренное выражение подставляется базисный коэффициент роста. Базисный коэффициент, как известно, получается непосредственно как частное от деления уровня последнего периода у п на уровень базисного периода у 0 .

Тогда формула для расчета среднего коэффициента роста для равностоящих рядов динамики (по "базисному способу") выглядит следующим образом:

,

где т - число уровней ряда динамики в изучаемом периоде, включая базисный.

Для расчета средних коэффициентов роста не нужно знать годовые темпы. Для нашего примера:

Получен тот же результат, расчеты упрощены.

Средние темпы прироста (сокращения) рассчитываются на основе средних темпов роста, вычитанием из последних 100%. Соответственно при исчислении средних коэффициентов прироста из значений коэффициентов роста вычитается единица:

;
,

где ‑ средний темп прироста.

Если уровни ряда динамики снижаются, то средний темп роста будет меньше 100 %, а средний темп прироста - отрицательной величиной. Отрицательный темп прироста представляет собой средний темп сокращения и характеризует среднюю относительную скорость снижения уровня.

При анализе развития явлений, отражаемых двумя динамическими рядами, представляет интерес сравнение интенсивностей изменения во времени обоих явлений. Такое сопоставление интенсивностей изменения производится при сравнении динамических рядов одинакового содержания, но относящихся к разным территориям (странам, республикам, районам и т.п.), или к различным организациям (министерствам, предприятиям, учреждениям), или при сравнении рядов разного содержания, но характеризующих один и тот же объект. Например, сравнение рядов динамики, характеризующих производство важнейших видов продукции в Российской Федерации и других странах.

Сравнение интенсивности изменений уровней рядов во времени возможно с помощью коэффициентов опережения (отставания), представляющих собой отношение базисных темпов роста (или прироста) двух рядов динамики за одинаковые отрезки времени:

,
,

где
‑базисные темпы роста и прироста первого и второго рядов динамики (соответственно).

Коэффициенты опережения (отставания) могут быть исчислены на основе сравнения средних темпов роста (или прироста) двух динамических рядов за одинаковый период времени:

,

где
‑средние темпы роста первого и второго рядов динамики соответственно; n – число лет в периоде.

Коэффициент опережения (отставания) показывает, во сколько раз быстрее растет (отстает) уровень одного ряда динамики по сравнению с другим. При этом сравнении темпы должны характеризовать тенденцию одного направления.

Статистика населения

Понятие статистики населения, ее объект предмет изучения

Население как объект исследования

1. Статистика населения - отрасль статистической науки, изучаю щая население и процессы, связанные с его динамикой, с количественной стороны в конкретных условиях общественного развития и разрабатывающая методы статистического учета и анализа демо графических явлений и процессов.

Объект изучения - население в целом, отдельные группы населения (трудоспособные, инвалиды, мужчины, женщины и др.), молодые семьи, родившиеся (умершие) за определенный промежуток времени.

Предмет статистики населения - население и закономерности его развития.

Основные задачи статистики населения :

определение численности населения;

анализ размещения населения по территории страны;

характеристика состава населения;

изучение процессов воспроизводства населения;

определение перспективной численности и состава населения.

Единица наблюдения - отдельный человек как индивидуум, семья, домохозяйство, населенный пункт.

При этом источниками информации являются: текущий учет; единовременный учет (микропереписи; выборочные переписи; сплошные переписи).

2. Население - совокупность людей, проживающих в пределах опреде ленной территории :

части страны;

всей страны;

группы стран;

всего земного шара.

Различаются следующие группир овки населения: